Descrizione introduttiva

Questo corso propone un'introduzione alla meccanica dei continui (limitata, per ragioni di spazio ai soli continui solidi), sviluppata secondo l'indirizzo moderno della disciplina.

Lo scopo che si propone è quello di fornire gli strumenti necessari a comprendere i fondamenti teorici della meccanica dei solidi non lineare e, specificamente, in presenza di deformazioni finite.

Dopo un richiamo dei concetti di algebra lineare e tensoriale che verranno ampiamente utilizzati, si riprendono in esame i concetti di sforzo,di deformazione e di legame costitutivo (limitatamente al caso elastico lineare) formulati nell'ambito di deformazioni infinitesime, ma facendo già uso delle notazioni che verranno utilizzate per generalizzare questi concetti.

Si passa quindi a introdurre le misure di deformazione finita a partire dall'ambito più naturale, quello monoassiale, e si procede, generalizzando questi concetti, a sviluppare la cinematica delle deformazioni finite nel caso tridimensionale.

Segue poi la definizione delle misure di sforzo coniugate alle differenti misure di deformazione, ponendo alla base di questa corrispondenza nozioni di equivalenza energetica.

Il corso viene completato da cenni relativi alla teoria generale dei legami costitutivi (specie per quanto attiene ai requisiti di determinismo degli sforzi, di azione locale, di oggettività) e da un riesame critico dei casi di legame costitutivo iperelastico e di legame elasto-plastico.

Il contenuto teorico è reso più agevolmente assimilabile dagli esempi svolti che verranno proposti.

Oiettivi

Il corso si propone di fornire una esposizione sintetica e a livello introduttivo dei fondamenti teorici della meccanica non lineare dei continui deformabili.

Due sono, fondamentalmente, gli scopi che il corso si propone.

• In primo luogo, vuole mettere in condizione chi ne abbia assimilato i contenuti di utilizzare con cognizione di causa gli strumenti di simulazione numerica (tipicamente i programmi di calcolo basati sul metodo degli elementi finiti) quando si trovi ad affrontare problemi meccanico-strutturali complessi. In questi ambiti, nei quali sono tipicamente presenti significativi effetti non lineari, dovuti alla presenza di grandi spostamenti e/o di deformazioni finite, l'approccio classico (lineare) della meccanica dei continui deformabili basato sull'ipotesi di deformazioni infinitesime non è più applicabile e si rende necessario generalizzare la formulazione in modo meccanicamente coerente e capace di tenere in conto tutte le origini delle non linearità. Ciò comporta però una maggiore difficoltà concettuale nell'assegnazione dei dati del problema (proprietà meccaniche dei materiali, condizioni di carico, condizioni al contorno) e nella interpretazione dei risultati (configurazione alla quale sono riferiti i valori degli sforzi, per esempio); gli argomenti trattati mirano a fornire gli strumenti per arrivare a dominare consapevolmente questi aspetti.
  
• In secondo luogo, il corso intende fornire le basi necessarie per ulteriori approfondimenti, basati sullo studio personale, a chi, per motivi di ricerca o di sviluppo di prodotti, di tecnologie e/o di processi produttivi si trovi ad affrontare problemi meccanico-strutturali avanzati e abbia la necessità di consultare la relativa letteratura scientifica e tecnica, ampiamente permeata dai concetti della meccanica non lineare dei continui. Le indicazioni bibliografiche che verranno fornite mirano appunto a consentire di approdare rapidamente alla comprensione di testi e articoli scientifici riguardanti specifici aspetti e applicazioni della meccanica non lineare dei solidi e delle strutture.
  

Contenuti

0. Richiami di algebra lineare
Notazione matriciale e tensoriale (in riferimento cartesiano ortogonale); operazioni vettoriali e tensoriali in notazione matriciale

1. Lo stato di deformazione (piccole deformazioni)
Analisi dello spostamento di un intorno; tensore di deformazione e di rotazione infinitesima; trasformazione di coordinate; deformazioni principali e invarianti.

2. Lo stato di sforzo
Definizione di Cauchy; relazioni di equilibrio; tensioni principali e invarianti; deviatore di tensione; diagramma di Mohr.

3. Il legame elastico lineare
Energia di deformazione; comportamento isotropo; legami fra costanti elastiche; misura sperimentale delle costanti elastiche; variazione di volume e variazione di forma; valori limite delle costanti elastiche.

4. Introduzione alle misure di deformazione finita (caso monoassiale)
Prove di trazione/compressione: definizioni ingegneristiche di sforzi e deformazioni; sforzi veri e deformazioni naturali; altre misure coniugate di sforzo e deformazione: il principio dei lavori virtuali.

5. Cinematica delle deformazioni finite riferite alla configurazione corrente
Traiettoria; velocità; descrizione materiale e spaziale; velocità di deformazione; derivazione materiale; formulazione del problema incrementale.

6. Cinematica delle deformazioni finite
Gradiente di deformazione; misure di deformazione pura in ambito Lagrangiano ed Euleriano; variazione di lunghezza, di angolo, di superficie e di volume; sequenza di cambiamenti di configurazione; relazione fra i tensori di deformazione finita e la velocità di deformazione.

7. Misure di sforzo coniugate
Tensore di Cauchy; Primo e Secondo tensore di Piola-Kirchhoff; formulazione delle equazioni di equilibrio nella configurazione corrente e in quella indeformata.

8. Cenni alla teoria generale dei legami costitutivi
Principi fondamentali (di determinismo degli sforzi, di azione locale, di oggettività); materiali semplici; elasticità finita; forme ridotte per materiali semplici; legami costitutivi in forma incrementale.

9. Legami costitutivi elastico ed elasto-plastico (in piccole deformazioni)
Materiali iperelastici; energia complementare; teoremi energetici. Comportamento elasto-plastico: modello monodimensionale; estensione al caso pluriassiale: funzione di snervamento e legge di scorrimento; legame elasto-plastico incrementale; postulato di stabilità di Drucker e teoremi di estremo.

Testi di riferimento

• L. Corradi dell'Acqua, Meccanica delle Strutture (vol. I), Milano:McGraw-Hill, 1992.
  
• L. Malvern, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1969
  
• J. Bonet, R. Wood, Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis, Cambridge: Cambridge University Press, 1997
  

Destinatari

Ricercatori e tecnici che operano nell'ambito dello studio e della simulazione numerica di problemi meccanici o strutturali non lineari; progettisti di macchine e/o strutture complesse.

Il corso si rivolge quindi particolarmente a un pubblico di laureati/diplomati in ingegneria, architettura ed eventualmente in fisica o matematica.

Prerequisiti

Costituiscono prerequisito le conoscenze basilari dell'algebra lineare (calcolo vettoriale e matriciale).

È inoltre auspicabile una familiarità con i concetti di stato di sforzo, di stato di deformazione e di legame costitutivo elastico lineare così come vengono abitualmente impartiti nei corsi universitari di Meccanica razionale, Fisica matematica o di Scienza delle costruzioni.

Materiale didattico

Copia cartacea dei trasparenti del corso